Question

在数列{a_n}中，a₁=6，且a_n-a_n-1=

an-1

n

+n+1（n∈N^*，n≥2），数列{

1

an

}的前n项和为s_n，则S₁₀=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系构造等差数列{

an

1+n

}，求出数列的通项公式，利用裂项法进行求和即可．

解答： 解：由a_n-a_n-1=

an-1

n

+n+1（n∈N^*，n≥2），
得a_n=

(1+n)

n

a_n-1+（n+1），（n∈N^*，n≥2），
则

an

1+n

=

an-1

n

+1，
即{

an

1+n

}是以

a1

2

=

6

2

=3为首项公差d=1的等差数列，
则

an

1+n

=3+n-1=n+2，
即a_n=（n+2）（n+1），
则

1

an

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
则S₁₀=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

11

-

1

12

=

1

2

-

1

12

=

5

12

，
故答案为：

5

12

点评：本题主要考查数列的求和的计算，根据数列的递推关系构造等差数列，利用裂项法是解决本题的关键．