Question

已知椭圆C₁：

x2

4b2

+

y2

b2

=1（b＞0），抛物线C₂：x²=4（y-b）．过点F（0，b+1）作x轴的平行线，与抛物线C₂在第一象限的交点为G，且该抛物线在点G处的切线经过坐标原点O．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C₁相交于两点C、D两点，其中点C在第一象限，点A为椭圆C₁的右顶点，求四边形ACFD面积的最大值及此时l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由x²=4（y-b），可得y=

1

4

x2+b，与y=b+1联立可得G（2，b+1），利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而点到过点G的切线方程为y=x+b-1，
把（0，0）代入可得b=1即可点到椭圆的方程．
（Ⅱ）依题意有k＞0，设C（x_C，kx_C），把y=kx与椭圆方程联立可得xC=

2

1+4k2

，利用S_AFCD=S_△CFD+S_△ACD=

1

2

|OF|×2xC+

1

2

|OA|×2kxC，及其基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由x²=4（y-b），可得y=

1

4

x2+b，当y=b+1，得x=±2，
∴G（2，b+1），
由y′=

1

2

x，
∴y′|_x=2=1，
∴过点G的切线方程为y-（b+1）=x-2，即y=x+b-1，
把（0，0）代入可得b=1．
即椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．

（Ⅱ）依题意有k＞0，设C（x_C，kx_C），
由

x2 4 +y2=1 y=kx

得xC=

2

1+4k2

，
∴S_ACFD=S_△CFD+S_△ACD=

1

2

|OF|×2xC+

1

2

|OA|×2kxC
=2（1+k）x_C=

4(1+k)

1+4k2

=4

(1+k)2 1+4k2

（*），
令t=1+k，k=t-1，t∈（1，+∞），

1

t

∈(0，1)，
则

(1+k)2

1+4k2

=

t2

1+4(t-1)2

=

1

5( 1 t )2-8( 1 t )+4

≤

5

4

，
当且仅当t=

5

4

，k=

1

4

时，等号成立．
∴S_ACFD≤2

5

，
∴四边形ACFD面积的最大值为2

5

，l的方程为y=

1

4

x．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、利用导数研究切线方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．