Question

对于函数f（x）=a+

2

2x+1

x∈R是奇函数．
（1）求a值；
（2）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；
（3）解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先利用f（0）=0求出a的值，然后验证即可；
（2）按照：取值、作差变形、判断符号下结论的步骤进行；
（3）利用单调性构造关于t的不等式即可．

解答： 解：（1）因为x∈R，所以f（0）=0，解得a=-1，
经验证a=-1时，f（-x）=-f（x）恒成立，故a=-1即为所求；
（2）由（1）知f（x）=

2

2x+1

-1．
任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

．
因为y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
所以2x2-2x1＞0，所以上式＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上是减函数．
（3）结合函数f（x）是奇函数，所以f（2t+1）+f（t-5）≤0可化为：
f（2t+1）≤f（5-t），
又因为函数f（x）在R上是减函数，
所以2t+1≥5-t，解得t≥

4

3

．

点评：本题考查了函数的奇偶性性质，以及利用奇偶性和单调性求解不等式的问题思路，难度不大．