Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2

2

=0相切，点R（1，-1）．
（Ⅰ）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程；
（Ⅱ）若与直线l₁垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，且∠PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）设圆C的半径为r，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得圆C的方程，再求以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程，两方程相减即可得到MN的方程；
（Ⅱ）（方法一）设直线l的方程为：y=-x+b，联立圆C方程，运用判别式大于0，韦达定理以及向量的数量积的坐标表示，化简解不等式，即可得到所求范围；
（方法二）设直线l的方程为：y=-x+2m，取PQ中点M，则OM⊥PQ，点M坐标为M（m，m）．若使∠PRQ为钝角，需满足点R在以PQ为直径的圆内，且点P，Q，R不共线，运用d＜r，且三点共线知识，计算即可得到所求范围．

解答： 解：（Ⅰ）设圆C的半径为r，
由圆与直线l₁：x-y-2

2

=0相切，
则r=

|0-0-2 2 |

12+12

=2，
则圆C方程为x²+y²=4，
由点G（1，3），则|OG|=

12+32

=

10

，|GM|=

OG2-OM2

=

10-4

=

6

，
则以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程（x-1）²+（y-3）²=6（1）
又圆C方程为：：x²+y²=4（2）
由（1）-（2）得直线MN方程为x+3y-4=0；
（Ⅱ）（方法一）设直线l的方程为：y=-x+b，
联立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
设直线l与圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，
x₁+x₂=b，x₁x₂=

b2-4

2

（3）
因为∠PRQ为钝角，所以

RP

•

RQ

＜0，
即满足（x₁-1）（x₂-1）+（y₁+1）（y₂+1）＜0，
且

RP

与

RQ

不是反向共线，又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
所以（x₁-1）（x₂-1）+（y₁+1）（y₂+1）=2x₁x₂-（b+2）（x₁+x₂）+b²+2b+2＜0（4）
由（3）（4）得b²＜2，满足△＞0，即-

2

＜b＜

2

，
当

RP

与

RQ

反向共线时，直线y=-x+b过（1，-1），
此时b=0，不满足题意，
故直线l纵截距的取值范围是[-

2

，0）∪（0，

2

]．
（方法二）设直线l的方程为：y=-x+2m，取PQ中点M，则OM⊥PQ，
点M坐标为M（m，m）．
若使∠PRQ为钝角，需满足点R在以PQ为直径的圆内，且点P，Q，R不共线
即MR＜

1

2

PQ即MR²＜OP²-OM²即（m-1）²+（m+1）²＜4-（m²+m²），
解得：m²＜

1

2

，
当P，Q，R三点共线时，直线y=-x+2m过（1，-1），
此时m=0，不满足题意，所以2m∈[-

2

，0）∪（0，

2

]．
故直线l纵截距的取值范围是[-

2

，0）∪（0，

2

]．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相切的条件，同时考查两直线垂直的条件，运用向量的数量积小于0和构造圆的思想解决钝角问题是解题的关键．