Question

已知一个数列{a_n}的各项是1或3，首项为1，且在第k个1和第k+1个1有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…，记数列的前n项的和为S_n，
（Ⅰ）试问从数列第一项开始数起第n个1为该数列的第几项？
（Ⅱ）求a₂₀₀₇（注：45²-45+1=1981，46²-46+1=2071）；
（Ⅲ）求该数列的前2007项的和S₂₀₀₇．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+3=4项；…；(1，

3，3，…，3

2k-1

)，为第k对，共1+（2k-1）=2k项；可得前k对共有项数为2+4+…+2k=k（k+1）．由于第n个1所在的项之前共有n-1对，即可得出第n个1为该数列的（n-1）（n-1+1）+1．
（II）由于45²-45+1=1981，46²-46+1=2071，可得2007-1980=27，可得第2007项在第45对中的第27个数，即可得出a₂₀₀₇．
（III）前20O7项中共有45个1，其余2007-45=1962个数均为2，即可得出S₂₀₀₇．

解答： 解：（I）将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+3=4项；…；
(1，

3，3，…，3

2k-1

)，为第k对，共1+（2k-1）=2k项；
故前k对共有项数为2+4+…+2k=k（k+1）．
第n个1所在的项之前共有n-1对，
∴第n个1为该数列的（n-1）（n-1+1）+1=n²-n+1．
（II）∵45²-45+1=1981，46²-46+1=2071，∴2007-1980=27，
故第2007项在第45对中的第27个数，从而a₂₀₀₇=2，
（III）前20O7项中共有45个1，其余2007-45=1962个数均为2，
于是S₂₀₀₇=45×1+1962×2=3969．

点评：本题考查了分组求数列的项数及其项、前n项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．