Question

已知函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx．
（1）求该函数的最小正周期和最大值；
（2）当该函数取得最大值时，求自变量x的集合．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得y=

1

4

+

1

2

sin（2x+

π

6

），易得周期和最值；
（2）由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

可得函数取得最大值时自变量x的集合．

解答： 解：（1）化简可得y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx
=

1

2

•

1+cos2x

2

+

3

4

sin2x
=

1

4

+

1

2

（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）
=

1

4

+

1

2

sin（2x+

π

6

）
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值为

1

4

+

1

2

=

3

4

；
（2）由（1）知，当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

6

时，该函数取得最大值，
故自变量x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的最值和周期性，属基础题．