Question

12．已知$\overrightarrow{m}$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，sinx+cosx），记函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求函数f（x）的最大以及取最大值时x的取值集合；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，c=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算化简可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解f（x）的最大以及取最大值时x的取值集合；
（2）由已知及（1）得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，结合0＜C＜π，解得C，由余弦定理得ab≤3，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分15分）
解（1）由题意，得f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），（4分）
∴y_max=2．（5分）
当f（x）取最大值时，即sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，此时2x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$（k∈Z），解得：x=k$π+\frac{π}{3}$，（k∈Z），（6分）
所以x的取值集合为：{x|x=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z}． （7分）
（2）因f（C）=2，由（1）得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，又0＜C＜π，即$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
所以$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得$C=\frac{π}{3}$，（10分）
在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，（11分）
得3=a²+b²-ab≥ab，即ab≤3，（13分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC$（14分）
所以△ABC面积的最大值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．（15分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题．