Question

15．已知命题p：?x∈[-1，1]，x²+x+m≥0，命题q：?x∈[-1，1]，m+2^x≤0．若“p或q”为真，则实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q为真时m的范围，根据“p或q”为真，得到不等式组，解出即可．

解答 解：关于命题p：?x∈[-1，1]，x²+x+m≥0，
∴m≥-x²-x在x∈[-1，1]恒成立，
令f（x）=-x²-x=-${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，x∈[-1，1]，
对称轴x=-$\frac{1}{2}$，开口向下，
∴f（x）在[-1，-$\frac{1}{2}$）递增，在（-$\frac{1}{2}$，1]递减，
∴f（x）_最大值=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴命题p为真时：m≥$\frac{1}{4}$；
关于命题q：?x∈[-1，1]，m+2^x≤0，
即?x∈[-1，1]，使得m≤-2^x，
只需求出g（x）=-2^x在x∈[-1，1]上的最大值即可，
g（x）_最大值=-$\frac{1}{2}$，
∴命题q为真时：m≤-$\frac{1}{2}$，
若“p或q”为真，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{4}}\\{m＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：m≥$\frac{1}{4}$，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{m＜\frac{1}{4}}\\{m≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：m≤-$\frac{1}{2}$．
故实数m的取值范围m$≤-\frac{1}{2}$或m≥$\frac{1}{4}$，
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，考查二次函数，指数函数的性质，是一道中档题．