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    （2012•房山区一模）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
    高一年级 高二年级 高三年级
    10人 6人 4人
    （I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
    （II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
    分析：（I）利用古典概型的概率公式，可求恰好有1人是高一年级学生的概率；
    （II）确定ξ的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可得随机变量ξ的分布列和数学期望；利用随机变量ξ服从参数为4，
    1
    3
    的二项分布，也可求．
    解答：解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则P(A)=
    C
    1
    10
    C
    2
    10
    C
    3
    20
    =
    15
    38

    答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为
    15
    38
    ．…（4分）
    （II）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
    1
    3
    ．所以  …（6分）P(ξ=0)=
    C
    0
    4
    (
    1
    3
    )0(
    2
    3
    )4=
    16
    81
    ；       P(ξ=1)=
    C
    1
    4
    (
    1
    3
    )1(
    2
    3
    )3=
    32
    81
    ；P(ξ=2)=
    C
    2
    4
    (
    1
    3
    )2(
    2
    3
    )2=
    24
    81
    =
    8
    27
    ；P(ξ=3)=
    C
    3
    4
    (
    1
    3
    )3(
    2
    3
    )1=
    8
    81
    ；
    P(ξ=4)=
    C
    4
    4
    (
    1
    3
    )    4    (
    2
    3
    )    0    =
    1
    81
    ．…（11分）
    随机变量ξ的分布列为：
    ξ 0 1 2 3 4
    P
    16
    81
    32
    81
    8
    27
    8
    81
    1
    81
    …（12分）
    所以Eξ=0×
    16
    81
    +1×
    32
    81
    +2×
    24
    81
    +3×
    8
    81
    +4×
    1
    81
    =
    4
    3
    …（13分）
    解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
    1
    3
    ．…（5分）
    则随机变量ξ服从参数为4，
    1
    3
    的二项分布，即ξ～B(4，
    1
    3
    )    ．…（7分）
    随机变量ξ的分布列为：
    ξ 0 1 2 3 4
    P
    16
    81
    32
    81
    8
    27
    8
    81
    1
    81
    所以Eξ=np=4×
    1
    3
    =
    4
    3
    …（13分）
    点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．
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