Question

若直线y=kx-2与抛物线y²=8x交于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标是3，则|AB|=

6

．

Answer 1

分析：由

y=kx-2 y2=8x

，得k²x²-（4k+8）x+4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：x₁+x₂=

1

k2

（4k+8），x₁x₂=

4

k2

，故|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 k+1

k2

，由线段AB的中点的横坐标是3，知

1

2

|x₁-x₂|=

4 k+1

k2

=3，由此能求出|AB|．

解答：解：解方程组：

y=kx-2 y2=8x

，
∴（kx-2）²=8x，整理为：k²x²-（4k+8）x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则：x₁+x₂=

1

k2

（4k+8），x₁x₂=

4

k2

，
则：|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(4k+8)2 k4 -4× 4 k2

=

8 k+1

k2

，
∵线段AB的中点的横坐标是3，则

1

2

|x₁-x₂|=

4 k+1

k2

=3，
所以|AB|=|x₁-x₂|=2×3=6．
故答案为6．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，具体涉及到抛物线的性质、韦达定理，弦长公式等基本知识点．解题时要认真审题，仔细解答．