Question

已知函数f（x）=e^x-kx（x∈R）
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=e^x-e，令f'（x）=0，解得x=1
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）单调递增；
当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）单调递减．（6分）
（2）∵f（|x|）为偶函数，∴f（|x|）＞0恒成立等价于f（x）＞0对x≥0恒成立
当x≥0时，f'（x）=e^x-k，令f'（x）=0，解得x=lnk
（1）当lnk＞0，即k＞1时，f（x）在（0，lnk）减，在（lnk，+∞）增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-kllnk＞0，解得1＜k＜e，∴1＜k＜e
（2）当lnk≤0，即0＜k≤1时，f'（x）=e^x-k≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=1＞0，符合，∴0＜k≤1
综上，0＜k＜e．（12分）．