Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=

15

，AA₁=6，E，F分别为AA₁与BC₁的中点．
（1）求证：EF∥底面ABC；
（2）求平面EBC₁与底面ABC所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点D，连AD、DF，结合F为BC₁的中点，可得四边形EADF为平行四边形；即可得到EF∥AD，进而求出结论；
（2）取CC₁的中点M，连EM、FM，可以先证得平面EFM∥底面ABC进而得平面EBC₁与底面所成的锐二面角等于平面EBC₁与平面EFM所成的锐二面角；再作MN⊥EF于N，连C₁N，则EF⊥C₁N，∠C₁NM为平面EBC₁与平面EFM所成的锐二面角的平面角，通过求其边长即可求出结论．

解答：解：（1）取BC的中点D，连AD、DF
∵F为BC₁的中点，
∴DF∥CC1∥AE，DF=

1

2

CC1=

1

2

AA1=AE，
∴四边形EADF为平行四边形．
∴EF∥AD，又AD在底面ABC上，EF不在底面ABC上
∴EF∥底面ABC．
（2）取CC₁的中点M，连EM、FM，
则EM∥AC，FM∥BC，
即平面EFM内的两条相交直线与底面ABC内的两条相交直线分别平行，
∴平面EFM∥底面ABC．
∴平面EBC₁与底面所成的锐二面角等于平面EBC₁与平面EFM所成的锐二面角．
作MN⊥EF于N，连C₁N，则EF⊥C₁N，∠C₁NM为平面EBC₁与平面EFM所成的锐二面角的平面角．
在Rt△EMF中，EM=

15

，MF=

15

2

，EF=

15+ 15 4

=

5 3

2

，
∴MN=

EM•MF

EF

=

3

．又C₁M=3，
∴在△C₁NM中，tan∠C1NM=

C1M

MN

=

3

3

=

3

∴∠C₁NM=60°，
即所求锐二面角的大小为60°．

点评：本题主要考察与二面角有关的立体几何综合题．解决问题得关键在于把平面EBC₁与底面所成的锐二面角转化为平面EBC₁与平面EFM所成的锐二面角．