Question

设函数f（x）=x²-5x-6和函数．
（Ⅰ） 求过点（-1，2）且与曲线f（x）相切的直线方程；
（Ⅱ）若函数的图象与函数g（x）的图象有且只有一个公共点，求k的取值范围；
（Ⅲ）设，比较与的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求解该曲线过点（-1，2）的切线方程，注意点（-1，2）不一定是切点，设出切点利用待定系数法求解出所求的切线方程；
（Ⅱ）将图象交点问题进行转化与化归是解决本题的关键，注意求图象的交点就是求使得两函数值相等时对应方程的根的问题，通过研究相应方程对应的函数的极值求得k的取值范围；
（Ⅲ）将t进行变形与放缩是解决本题的关键，注意绝对值三角不等式的运用和作差法比较大小的思想．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-5x-6，
∴f'（x）=2x-5，
设点（m，f（m））在曲线f（x）上，
∴点（m，f（m））处的切线方程为点y-（m²-5m-6）=（2m-5）（x-m），
∵切线过点（-1，2），
∴2-（m²-5m-6）=（2m-5）（-1-m），即m²+2m+3=0，
∴m₁=-1，或m₂=-3
∴切线方程为7x+y+7=0，或11x+y+15=0；
（Ⅱ）∵，
∴方程只有一个解，
即方程只有一个解，
设，∴u'（x）=3x²-9x²+6，
当x＜1或x＞2时，u'（x）＞0，当1＜x＜2时，u'（x）＜0，
∴x=1时，u（x）有极大值，x=2时，u（x）有极小值4，
∴或k＜4且k≠2；
（Ⅲ）∵
又∵，
∴
=
=，
，
∴t＞k＞0，
∵
==，
∵t＞k＞0，
∴．
点评：本题是函数的综合应用问题，考查函数图象过某点处的切线方程的求解，注意点斜式方程和待定系数法的灵活运用；考查函数图象交点问题的等价转化思想，要求学生会利用导数求解函数的极值．进而解决一些综合问题；考查学生运用作差法比较大小的方法，注意放缩法的运用，要求学生具有很强的转化与化归能力．