Question

（本小题满分15分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)(1)求出x与t所满足的关系式；(2)请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；(3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元

(1)　设比例系数为k．由题知，有．………………………2分
又…4分　． 5分
　(2) 依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：()元／件．……………………8分
于是，，进一步化简，得
．……11分
因此，工厂2010年的年利润万元．
(3) 由(2)知，
　　　……………15分
所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．………16分