Question

已知函数f（x）=（x²+2x-2）•e^x，x∈R，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若方程f（x）=m有两个不同的实数根，试求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=（x²+4x）•e^x，令f'（x）=0，由此利用导数性质能求出函数f（x）的极值．
（Ⅱ）作出大致图象，问题“方程f（x）=m有两个不同的实数根”转化为函数f（x）的图象与y=m的图象有两个不同的交点，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+2x-2）•e^x，x∈R，
∴f'（x）=（2x+2）•e^x+（x²+2x-2）•e^x=（x²+4x）•e^x…（2分）
令f'（x）=0，解得x₁=-4或x₂=0，列表如下…（4分）

x	（-∞，-4）	-4	（-4，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大	递减	极小	递增

由表可得当x=-4时，函数f（x）有极大值f（-4）=6e^-4；
当x=0时，函数f（x）有极小值f（0）=-2；…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及当x→-∞，f（x）→0；x→+∞，f（x）→+∞
大致图象为如图（大致即可）
问题“方程f（x）=m有两个不同的实数根”转化为函数f（x）的图象与y=m的图象有两个不同的交点，…（10分）
故实数m的取值范围为[-2，0]∪{6e^-4}．…（13分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．