Question

已知函数f（x）=lnx+x²+ax
（1）当a=-3时，求函数y=f（x）的极值点；
（2）当a=-4时，求方程f（x）+x²=0在（1，+∞）上的根的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求出导函数，令导数值为0，求出x的值，代入验证极值点左右两边的导数符号是否相反．
（2）把a=-4代入，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，只要求出g（x）在区间（1，+∞）上的零点的个数即可，求导数可知g（x）在区间（1，+∞）上是单调递增的函数，结合零点的存在性定理可得结论

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+x²+ax
∴f′（x）=

1

x

+2x-3
令f′（x）=0则x=1或

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

），（1，+∞）单增，在（

1

2

，1）单减，
∴f（x）的极大值点x=

1

2

，极小值点x=1；
（2）当a=-4时，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，
只要求出g（x）在区间（1，+∞）上的零点的个数即可，
由g′（x）=

1

x

+4x-4=

(2x-1)2

x

在（1，+∞）上恒大于0可知，
g（x）在区间（1，+∞）上是单调递增的函数，
又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，
故g（x）在区间（1，+∞）上恰有1个零点

点评：利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数为0是函数有极值的必要不充分条件．