Question

已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）-g（x）=x³+x²+x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）-g（x）=x³+x²+x．①
∴f（-x）-g（-x）=-x³+x²-x，即-f（x）-g（x）=-x³+x²-x ②
①-②得2f（x）=2x³+2x，∴f（x）=x³+x
（2）函数f（x）为R上的单调增函数
证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁³+x₁-（x₂³+x₂）=x₁³-x₂³+（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁²+x₁x₂+x₂²+1=（x₁+）2++1＞0
∴（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上为增函数．
分析：（1）将-x代入已知等式，利用函数f（x）、g（x）的奇偶性，得f（x）与g（x）的又一等式，将二者看做未知数解方程组即可得f（x）的解析式；（2）利用函数单调性的定义，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，即可证明函数的单调性
点评：本题考查了函数奇偶性，解方程组法求函数的解析式，利用单调性定义证明函数单调性的方法，作差法比较大小的方法和技巧