Question

如图，四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，BC₁=B₁C，
（1）求证：平面DD₁C₁C⊥平面ABCD；
（2）设点E，F分别是棱AD，CC₁中点，求证：EF∥平面C₁AB．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明BC⊥CD，又可证BC⊥CC₁  且有CD∩CC₁=C，BC?平面ABCD，从而有平面D₁DCC₁⊥平面AB⊥CD． 
（2）取棱BC的中点G，连接EG，FG，可证EG∥平面C₁AB，又GF∥平面C₁AB，可得平面EF∥平面C₁AB，又由EF?平面EFG，即可证明EF∥平面C₁AB．

解答： 证明：（1）∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，BC⊥CD…1分
∴在棱柱AC₁中，侧面BB₁C₁C为平行四边形，且BC₁=B₁C
∴四边形BB₁C₁C为矩形，∴BC⊥CC₁ …3分
∵CD∩CC₁=C，∴BC⊥平面D₁DCC₁…5分
∵BC?平面ABCD，
∴平面D₁DCC₁⊥平面AB⊥CD…7分
（2）取棱BC的中点G，连接EG，FG
∵梯形ABCD中，EG为中位线，
∴EG∥AB
∵EG?平面C₁AB，
∴EG∥平面C₁AB…9分
∵在△CC₁B中，GF为中位线，∴GF∥BC₁
又∵GF?平面C₁AB，∴GF∥平面C₁AB，…11分
∵EG∩GF=G，∴平面EF∥平面C₁AB，…13分
又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面C₁AB…14分

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．