Question

6．设f（x）=cosx+（π-x）sinx，x∈[0，2π]，则函数f（x）所有的零点之和为2π．

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系转化为两个函数y=tanx和y═$\frac{1}{x-π}$交点问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由f（x）=cosx+（π-x）sinx=0，
得cosx=（x-π）sinx，
当x=π时，cosπ=0不成立，则x≠π，
当cosx=0时，x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$，此时，cosx=（x-π）sinx不成立，
∴cosx≠0，
即$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{1}{x-π}$，
即tanx═$\frac{1}{x-π}$，
分别作出函数y=tanx和y═$\frac{1}{x-π}$，在x∈[0，2π]上的图象，
则由图象知两个函数有两个交点，且关于A（π，0）对称，
设两个交点的横坐标为x₁，x₂，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=π，
则x₁+x₂=2π，
即函数f（x）所有的零点之和为2π，
故答案为：2π

点评 本题主要考查函数零点个数的判断和应用，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数交点问题，以及利用数形结合是解决本题的关键．