Question

数列的前项和为，．
（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
（Ⅲ）若，，求不超过的最大的整数值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

解析试题分析：（Ⅰ）利用递推式相减后，构造等比数列进行证明；（Ⅱ）利用错位相减法求解；（Ⅲ）借助第一问的结论，确定数列的通项公式，进而采用裂项相消法求解P，进而利用放缩求不超过的最大的整数值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以 ① 当时，，则，            1分
② 当时，，        2分
所以，即，
所以，而，        3分
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．     4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以 ①，
②，     6分
②-①得：，     7分
.      9分
（Ⅲ）由(1)知        10分
，   12分
所以
，
故不超过的最大整数为．                 13分
考点：1.等比数列的证明；2.数列求和。