Question

4．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=2sin²$\frac{C}{2}$-sin$\frac{C}{2}$
（1）求sinC的值；
（2）若a=2且（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦函数公式化简已知，结合sin$\frac{C}{2}$≠0，即可得解sinC的值．
（2）由正弦定理化简已知等式可得sin2A=sin2B，结合角的范围0＜2A，2B＜2π，可得2A=2B，或2A=π-2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，由（1）知C≠$\frac{π}{2}$，结，合C的范围可得cosC的值，利用余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（1）sinC=2sin²$\frac{C}{2}$-sin$\frac{C}{2}$，
⇒2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=2sin²$\frac{C}{2}$-sin$\frac{C}{2}$，
⇒sin$\frac{C}{2}$（2sin$\frac{C}{2}$-2cos$\frac{C}{2}$-1）=0
在△ABC中，sin$\frac{C}{2}$≠0，
⇒2sin$\frac{C}{2}$-2cos$\frac{C}{2}$-1=0
⇒sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
⇒sinC=$\frac{3}{4}$．
（2）已知得a²[sin（A-B）-sin（A+B）]=b²[-sin（A+B）-sin（A-B）]，
∴2a²cosAsinB=2b²cosBsinA，
由正弦定理可得sin²AcosAsinB=sin²BcosBsinA，
∴sinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0，
∴sin2A=sin2B，由0＜2A，2B＜2π，可得2A=2B，或2A=π-2B，
即△ABC是等腰三角形或直角三角形．
由（1）知C≠$\frac{π}{2}$，即△ABC是等腰三角形，
∵sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$＞0，且$\frac{C}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$）⇒$\frac{C}{2}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$⇒C∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosC=-$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{7}+1$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，求三角函数值要特别注意角范围的确定，属于中档题．