Question

16．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、a，且$a-b=\sqrt{2}-1$，$sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$sinB=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（1）求a，b的值；
（2）求角C和边c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及已知可得a=$\sqrt{2}b$，联立方程$a-b=\sqrt{2}-1$，即可得解．
（2）由A，B为锐角，利用同角三角函数关系式可得cosA，cosB的值，利用两角和的余弦函数公式即可求得cosC=-cos（A+B）的值，利用余弦定理即可得c的值．

解答 解：（1）由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得a=$\sqrt{2}b$，联立$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}b}\\{a-b=\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$．…（4分）
（2）∵A，B为锐角，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C=135°，…（6分）
∴c²=a²+b²-2abcosC=5，
∴c=$\sqrt{5}$．…8分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等知识变换的应用，属于基本知识的考查．