Question

2．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，M为CC₁的中点，∠ABC=90°，AC=A₁A，∠A₁AC=60°，AB=BC=2．
（1）求证：BA₁=BM；
（2）求二面角B-A₁M-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据条件证明Rt△A₁DB≌Rt△MDB即可得到结论．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：取AC的中点D，连接BD，DM，AC₁，A₁D，A₁C，
∵AB=BC，∴BD⊥AC．
∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，且交于AC，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁D，
∴BD⊥DM．又DM=$\frac{1}{2}$AC₁，△A₁AC为等边三角形，四边形A₁ACC₁为菱形．
∴A₁D=$\frac{1}{2}$AC₁=DM，
∴Rt△A₁DB≌Rt△MDB．
∴BA₁=BM…（6分）
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则C（0，$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，$\sqrt{6}$），M（0，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B（$\sqrt{2}$，0，0）．
所以$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{BM}$=（-$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面BA₁的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+\sqrt{6}z=0}\\{-\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y+\frac{\sqrt{6}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{m}$=（3，1，$\sqrt{3}$）为平面BA₁M的一个法向量．
又$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{2}$，0，0）为平面CA₁M的一个法向量，
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$；
所以二面角B-A₁M-C的余弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．…（12分）

点评 本题主要考查空间直线相等的证明以及二面角的求解决，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．