Question

14．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{{a}_{n}}{2}$，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）分类讨论n=1与n≥2，从而求得数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，从而解得；
（2）化简b_n=log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{{a}_{n}}{2}$=n，从而利用裂项化简$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），从而求前n项和．

解答 解：（1）当n=1时，S₁+$\frac{1}{2}$a₁=1，
解得，a₁=$\frac{2}{3}$；
当n≥2时，由S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1，
两式作差得：a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
故数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
其通项公式为a_n=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）∵b_n=log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{{a}_{n}}{2}$=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{1+n}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法及对数运算的应用，同时考查了裂项求和法的应用．