Question

5．已知直线l：x=my+n（n＞0）过点A（$\sqrt{3}$，1），若x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≤my+n}\\{x-\sqrt{3}y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，且不等式组所表示可行域的外接圆直径为4，则函数z=$\sqrt{3}$x-y的最大值为6．

Answer 1

分析 先画可行域得△OAB，再利用正弦定理a=2RsinA先求出n的值，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：∵直线l：x=my+n（n＞0）过点A（$\sqrt{3}$，1）
∴直线x-$\sqrt{3}$y=0也过点A（$\sqrt{3}$，1），且m+n=$\sqrt{3}$，
若不等式组所表示可行域的外接圆直径为4，
则m＜0，
作出不等式组对应的平面区域如图，由题意知可行域为图中△OAB及其内部，
则直线x-$\sqrt{3}$y=0的斜率k=tan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则∠AOB=30°，
由正弦定理得$\frac{AB}{sin30°}=2R$，
则AB=2Rsin∠AOB=4×sin30°=2，
∵B（n，0），∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{3}-n）^{2}+1}$=2，
得n=2$\sqrt{3}$，即B（2$\sqrt{3}$，0）
由z=$\sqrt{3}$x-y得y=$\sqrt{3}$x-z，
平移y=$\sqrt{3}$x-z，
由图象知当直线y=$\sqrt{3}$x-z经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，
即z=$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件结合三角形的外接圆的性质，利用正弦定理求出n的值是解决本题的关键．