Question

20．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，过椭圆上的点A（2，3）作椭圆长轴的垂线，恰好经过椭圆的焦点
（1）求椭圆的方程；
（2）问椭圆上是否存在一点P，使得PF₁⊥PF₂？若存在，试求△PF₁F₂的面积，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c值，进一步求得椭圆上点A到右焦点的距离，由勾股定理求得A到左焦点的距离，再由椭圆定义求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）假设椭圆上存在点P（x₀，y₀），使得PF₁⊥PF₂，由向量垂直与数量积的关系得到P点坐标的一个方程，与椭圆方程联立，由方程组无解说明椭圆上不存在一点P，使得PF₁⊥PF₂．

解答 解：（1）由题意可知，c=2，且|AF₂|=3，则$|A{F}_{1}|=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=8，则a=4，
∴b²=a²-c²=12，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）假设椭圆上存在点P（x₀，y₀），使得PF₁⊥PF₂，
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=（-2-{x}_{0}，-{y}_{0}）•（2-{x}_{0}，-{y}_{0}）=0$，
即${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4}\\{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得：${{x}_{0}}^{2}=-32$，此方程无解．
∴椭圆上不存在一点P，使得PF₁⊥PF₂．

点评 本题考查了椭圆的定义求标准方程，考查椭圆的性质，考查向量垂直与数量积的关系，是中档题．