Question

11．若${C}_{n}^{m-1}$：C${\;}_{n}^{m}$：C${\;}_{n}^{m+1}$=3：4：5，则n-m=159．

Answer 1

分析 根据组合数公式，把${C}_{n}^{m-1}$：C${\;}_{n}^{m}$：C${\;}_{n}^{m+1}$=3：4：5化为等价的方程组，求出n、m的值即可．

解答 解：∵${C}_{n}^{m-1}$：C${\;}_{n}^{m}$：C${\;}_{n}^{m+1}$=3：4：5，
∴$\frac{n!}{（m-1）!•（n-m+1）!}$：$\frac{n!}{m!•（n-m）!}$：$\frac{n!}{（m+1）!•（n-m-1）!}$
=$\frac{1}{（n-m）（n-m+1）}$：$\frac{1}{m（n-m）}$：$\frac{1}{m（m+1）}$=3：4：5，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{n-m+1}=\frac{3}{4}}\\{\frac{m+1}{n-m}=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
解得m=27，n=186，
∴n-m=186-27=159．
故答案为：159．

点评 本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是综合性题目．