Question

12．在△ABC中，BC=6，M₁，M₂分别为边BC，AC的中点，AM₁与BM₂相交于点G，BC的垂直平分线与AB交于点N，且$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NC}$-$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NB}$=6，则$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=36．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NC}$-$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NB}$=6得$\overrightarrow{NG}•\overrightarrow{BC}=6$．用$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{N{M}_{1}}$，$\overrightarrow{BC}$表示出$\overrightarrow{NG}$，列方程解出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NC}$-$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NB}$=6，∴$\overrightarrow{NG}•\overrightarrow{BC}=6$．
∵M₁，M₂分别为边BC，AC的中点，∴G是△ABC的重心．
∴$\overrightarrow{{M}_{1}G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{M}_{1}A}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{B{M}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{NG}=\overrightarrow{N{M}_{1}}+\overrightarrow{{M}_{1}G}$=$\overrightarrow{N{M}_{1}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{B{M}_{1}}$，
∴（$\overrightarrow{N{M}_{1}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{B{M}_{1}}$）$•\overrightarrow{BC}$=6．
即$\overrightarrow{N{M}_{1}}•\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{3}\overrightarrow{B{M}_{1}}•\overrightarrow{BC}$=6．
∵NM₁⊥BC，BM₁=3，BC=6，
∴$\overrightarrow{N{M}_{1}}•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{B{M}_{1}}•\overrightarrow{BC}=3×6$=18．
∴$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$-6=6，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=36．
故答案为36．

点评 本题考查了平面向量加减运算的几何意义，平面向量数量积运算，属于中档题．