【题目】已知圆M:与
轴相切.
(1)求的值;
(2)求圆M在轴上截得的弦长;
(3)若点是直线
上的动点,过点
作直线
与圆M相切,
为切点,求四边形
面积的最小值.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)先将圆的一般方程化成标准方程,利用直线和圆相切进行求解;(2) 令,得到关于
的一元二次方程进行求解;(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.
试题解析:(1) ∵圆M:
与
轴相切
∴ ∴
(2) 令,则
∴
∴
(3)
∵的最小值等于点
到直线
的距离,
∴ ∴
∴四边形面积的最小值为
.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】在平面直角坐标系中,圆
的方程为
,且圆
与
轴交于
,
两点,设直线
的方程为
.
(1)当直线与圆
相切时,求直线
的方程;
(2)已知直线与圆
相交于
,
两点.
(ⅰ)若,求实数
的取值范围;
(ⅱ)直线与直线
相交于点
,直线
,直线
,直线
的斜率分别为
,
,
,
是否存在常数,使得
恒成立?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由题意,圆心
到直线
的距离
,由直线
与圆
相切得
,由此能求出直线
的方程;(2)(i)由题意得:
,
,由此能求出实数
的取值范围;(ii)
与圆
联立,得:
,由韦达定理求出
的坐标,从而得到
,由此能证明存在常数
,使得
恒成立.
试题解析:(1)解:由题意, ,
∴圆心到直线
的距离
,
∵直线与圆
相切,∴
,
∴,∴直线
.
(2)解:由题意得: ,∴
,
由(1)可知: ,∴
,
∴.
(3)证明: ,与圆
联立,得:
,
∴,
,∴
,
同理可得: , ∵
,
∴,即
,
∵,∴
, 设
,
∴,∴
, ∴
,即
,
∴,∴
,
∴存在常数,使得
恒成立.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求直线方程、直线与圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题,属于难题.解决存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在,注意:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法题很难时采取另外的途径.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为
(t为参数).
(Ⅰ)写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角;
(Ⅱ)若点P(1,2),设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨标准煤)的几组对照数据,
(1)求,
,
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)已知该厂技动前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
已知,
.
,
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【题目】德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想:任给一个正整数 ,如果
是偶数,就将它减半(即
);如果
是奇数,则将它乘3加1(即
),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明。也不能否定,现在请你研究:如果对正整数
(首项)按照上述规则旅行变换后的第9项为1(注:1可以多次出现),则
的所有不同值的个数为 .
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【题目】已知各项不为零的数列{an}的前n项和为Sn , 且a1=1,Sn=panan+1(n∈N*),p∈R.
(1)若a1 , a2 , a3成等比数列,求实数p的值;
(2)若a1 , a2 , a3成等差数列,
①求数列{an}的通项公式;
②在an与an+1间插入n个正数,共同组成公比为qn的等比数列,若不等式(qn)(n+1)(n+a)≤e对任意的n∈N*恒成立,求实数a的最大值.
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【题目】为建设美丽乡村,政府欲将一块长12百米,宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园,园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分),以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图所示).景观湖的边界线符合函数y=x+ (x>0)模型,园区服务中心P在x轴正半轴上,PO=
百米.
(1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM,求OM的最短长度;
(2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置,使通道PQ最短.
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn , 数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3 .
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令Cn= 设数列{cn}的前n项和Tn , 求T2n .
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