Question

【题目】已知各项不为零的数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=1，Sn=panan+1（n∈N*），p∈R．
（1）若a1 ， a2 ， a3成等比数列，求实数p的值；
（2）若a1 ， a2 ， a3成等差数列，
①求数列{an}的通项公式；
②在an与an+1间插入n个正数，共同组成公比为qn的等比数列，若不等式（qn）（n+1）（n+a）≤e对任意的n∈N*恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当n=1时，a1=pa1a2， ，当n=2时，a1+a2=pa2a3， ，

由 得 ，即p2+p﹣1=0，解得：

（2）

解：①由2a2=a1+a3得 ，故a2=2，a3=3，所以 ，

当n≥2时， ，

因为an≠0，所以an+1﹣an﹣1=2

故数列{an}的所有奇数项组成以1为首项2为公差的等差数列，

其通项公式

同理，数列{an}的所有偶数项组成以2为首项2为公差的等差数列，

其通项公式是

所以数列{an}的通项公式是an=n

②an=n，在n与n+1间插入n个正数，组成公比为qn的等比数列，故有 ，

即

所以 ，即 ，两边取对数得 ，

分离参数得 恒成立

令 ，x∈（1，2]，则 ，x∈（1，2]，…（12分）

令 ，x∈（1，2]，则 ，

下证 ，x∈（1，2]，

令 ，则 ，所以g（x）＞0，

即 ，用 替代x可得 ，x∈（1，2]，

所以 ，所以f（x）在（1，2]上递减，

所以

【解析】（1）利用递推关系、等比数列的性质即可得出p．（2）①利用递推关系、等差数列的性质即可得出an ． ②an=n，在n与n+1间插入n个正数，组成公比为qn的等比数列，故有 ，即 ，即 ，两边取对数得 ，分离参数得 恒成立．令 ，x∈（1，2]，则 ，x∈（1，2]，令 ，x∈（1，2]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．