Question

已知函数f（x）=log_a（ax-

x

）（a＞0，a≠1为常数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数成立的条件，即可求函数f（x）的定义域；
（2）利用换元法，令2x-

x

=t，再根据函数单调性得出不等式，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（ax-

x

）
∴ax-

x

＞0
∴

x

（a

x

-1）＞0，
∵

x

＞0，
∴a

x

-1＞0，
∵a＞0，
∴

x

＞

1

a

．
∴x＞

1

a2

，
所以定义域为（

1

a2

，+∞）．
（2）a=2时，f（x）=log₂（2x-

x

），
令2x-

x

=t，
则t=2x-

x

=2（

x

-

1

4

）²-

1

8

因为x∈[1，9]，
所以t∈[1，15]，
所以log₂1≤log₂（2x-

x

）≤log₂15，
即0≤f（x）≤log₂15
所以函数f（x）的值域为[0，log₂15]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性以及函数的定义域和值域，考查学生的计算能力，属于基础题．