Question

【题目】如图，已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别为PB，PC上的动点，求截面△AEF周长的最小值，并求出此时三棱锥P﹣AEF的体积．

Answer 1

【答案】解：如图，沿棱AB，AC，PA剪开，得到正三棱锥的侧面展开图，
则AA1的长为△BEF的周长的最小值．
由平面几何知识可证△PAE≌△PA1F，于是PE=PF，
又PB=PC，故EF∥BC．
∵∠ABE=∠PBC，∠AEB=∠PCB，
∴△ABE∽△PBC，
∴ ，
∴BE=2，
AE=A1F=4，PE=8﹣2=6．
由EF∥BC，有 ，
∴ ，
∴AA1=AE+EF+A1F=4+3+4=11，
∴△AEF周长的最小值是11，此时 ，即E，F分别在PB，PC的四等分点处．
取BC中点G，连AG、PG，过P作PO⊥AG，垂足为O，则PO⊥平面ABC，
过A作AH⊥PG，垂足为H，则AH⊥平面PBC．
在Rt△PAO中，OA= ，
在Rt△PBG中，PG= ，又 ，
由等积原理可得， ，
由于E、F是PB、PC的四等分点，
∴S△PEF= ，
∴ = ．


【解析】沿棱AB、AC、PA剪开，得到正三棱锥的侧面展开图，在平面图形中，利用平面几何知识可得EF∥BC，再由△ABE∽△PBC，结合相似三角形对应边成比例及平行线截线段成比例定理求得截面△AEF周长的最小值；由△AEF周长取最小值时E，F分别在PB，PC的四等分点处．可得三角形PEF面积与三角形PBC面积的关系，再求出A到侧面PBC的距离，利用等积法可得三棱锥P﹣AEF的体积．