【题目】已知数列的前
项和为
,数列
的前
项和为
,满足
,
,
,且
.若存在
,使得
成立,则实数
的最小值为__________.
【答案】
【解析】
先根据数列的递推公式可求出,再利用累乘法求出通项公式,再构造数列Bn=T2n﹣Tn,判断数列的单调性,即可求出
∵3Sn=(n+m)an,
∴3S1=3a1=(1+m)a1,解得m=2,
∴3Sn=(n+2)an,①,
当n≥2时,3Sn﹣1=(n+1)an﹣1,②,
由①﹣②可得3an=(n+2)an﹣(n+1)an﹣1,
即(n﹣1)an=(n+1)an﹣1,
∴,
∴,
,
,…,
,
,
累乘可得an=n(n+1),
经检验a1=2符合题意,
∴an=n(n+1),n∈N*,
∵anbn=n,
∴bn,
令Bn=T2n﹣Tn,
则Bn+1﹣Bn0,
∴数列{Bn}为递增数列,
∴Bn≥B1,
∵存在n∈N*,使得λ+Tn≥T2n成立,
∴λ≥B1,
故实数λ的最小值为,
故答案为:.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1).
(1)求证:函数f(x)有两个不同的零点;
(2)设x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,求|x1﹣x2|的取值范围;
(3)求证:函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
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【题目】已知椭圆的离心率
,左、右焦点分别为
,且
与抛物线
的焦点重合.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过的直线交椭圆于
两点,过
的直线交椭圆于
两点,且
,求
的最小值.
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【题目】已知函数,
.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)若函数,求
的单调区间;并证明:当
时,
;
(3)证明:当时,函数
有最小值,设
最小值为
,求函数
的值域.
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【题目】网络游戏要实现可持续发展,必须要发展绿色网游.为此,国家文化部将从内容上对网游作出强制规定,国家信息产业部还将从技术上加强对网游的强制限制,开发限制网瘾的疲劳系统,现已开发的“游戏防沉迷系统”规则如下:
①小时以内(含
小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值
(单位:
)与游戏时间
(小时)满足关系式:
(
为常数);
②小时到
小时(含
小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为
(即累积经验值不变);
③超过小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为
.
(1)当时,写出累积经验值
与游戏时间
的函数关系式
,并求出游戏
小时的累积经验值;
(2)定义“玩家愉悦指数”为累积经验值与游戏时间
的比值,记作
;若
,开发部门希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于
,求实数
的取值范围.
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【题目】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求的概率
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【题目】四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,
.
,且
平面
,
,点
分别是线段
上的中点,
在
上.且
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
的成角的正弦值;
(Ⅲ)请画出平面与四棱锥的表面的交线,并写出作图的步骤.
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