Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）讨论单调区间；

（Ⅱ）若直线是函数图象的切线，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求导后，讨论、、时、的解集即可得解；

（Ⅱ）设切点为，利用导数的几何意义求得切线方程，由题意，，令，求导后求得的最小值即可得解.

（Ⅰ）由题意，

则，

令，

①当时，，函数在上单调递增；

②当时，，

若即，即，函数在上单调递增；

若即，令可得，

所以当时，，函数在上单调递增；

③当时，，

令可得，，

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；

（Ⅱ）由题意，设切点为，

则，切线方程为，

即，

所以，，，

令，则，

令，则，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以即的最小值为.