【题目】已知椭圆
的离心率
，左、右焦点分别为
，且
与抛物线
的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过
的直线交椭圆于
两点，过
的直线交椭圆于
两点，且
，求
的最小值.
【答案】（1）椭圆的标准方程为
；（2）
的最小值为
.
【解析】试题分析：（1）由题可知）抛物线
的焦点为
，所以
，然后根据离心率可得a值，从而得出椭圆标准方程（2）根据题意则需求出AC和BD的长度表达式，显然可以根据直线与椭圆的弦长公式求得，所以设
， 
，直线
的方程为
，代入椭圆方程
， 
，同理求出AC的长度，然后化简即得
.
解析：
（1）抛物线
的焦点为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，所以椭圆的标准方程为
.
（2）（i）当直线
的斜率
存在且
时，
直线
的方程为
，代入椭圆方程
，
并化简得
.
设
， 
，则
， 
，
.
易知
的斜率为
，
所以
.
.
当
，即
时，上式取等号，故
的最小值为
.
（ii）当直线
的斜率不存在或等于零时，易得
.
综上， 
的最小值为
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线
： 
（
）的焦点是椭圆
： 
（
）的右焦点，且两曲线有公共点
（1）求椭圆
的方程；
（2）椭圆
的左、右顶点分别为
， 
，若过点
且斜率不为零的直线
与椭圆
交于
， 
两点，已知直线
与
相较于点
，试判断点
是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
， 
， 
为椭圆的上顶点， 
为等边三角形，且其面积为
， 
为椭圆的右顶点.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆
相交于
两点（
不是左、右顶点），且满足
，试问：直线
是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率
，过
且与
轴垂直的直线与椭圆
在第一象限内的交点为
，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线
交椭圆
于
两点，当
时，求直线
的方程.
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