Question

【题目】已知函数，

(1)若,求函数的极值及单调区间；

(2)若在区间上至少存在一点,使成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 时， 有极小值,无极大值， 的单调递增区间为，单调递减区间为，(2)

【解析】试题分析：(1)当时,求得 ,根据和的解集，即可得到函数的单调区间；

(2)若在区间上存在一点,使得成立,转化为在区间上的最小值小于0，当时, 在区间上的最小值为，进而根据和分类讨论，即可确定实数的取值范围.

试题解析：

(1)当时, ,令,解得,又函数的定义域为,由,得,由,得,所以时， 有极小值,无极大值，所以的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)若在区间上存在一点,使得成立,即在区间上的最小值小于0. ,且,令,得到

当,即时, 恒成立,即在区间上单调递减故

在区间上的最小值为，

由,得, ,当即时，

①若,则对成立,所以在区间上单调递减

则在区间 上的最小值为,

显然, 在区间的最小值小于0不成立.②若,即时,则有

	-	0	+
		极小值

所以在区间上的最小值为,由

,得,解得,即，

综上,由①②可知, 符题意.