Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC，点E是BC上一点，且平面BB₁C₁C⊥平面AEB₁．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）求证：A₁C∥平面AEB₁．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点F，则AF⊥BC，证明E，F重合，即可证明：AE⊥BC；
（2）由（1）可知E是BC的中点，连接A₁B，A₁B∩AB₁=O，则OE∥A₁C，利用线面平行的判定定理证明：A₁C∥平面AEB₁．

解答 证明：（1）取BC的中点F，则AF⊥BC，
∵AF⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
∵AF?平面AFB₁，
∴平面BB₁C₁C⊥平面AFB₁，
∵平面BB₁C₁C⊥平面AEB₁，∴E，F重合，
∴AE⊥BC；
（2）由（1）可知E是BC的中点，连接A₁B，A₁B∩AB₁=O，
则OE∥A₁C，
∵A₁C?平面AEB₁，OE?平面AEB₁，
∴A₁C∥平面AEB₁．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．