Question

【题目】设数列的前n项和为，对任意正整数n，皆满足（实常数）．在等差数（））中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）试判断数列能否成等比数列，并说明理由；

（3）若，，求数列的前n项和，并计算：（已知）．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3），

【解析】

（1）因为对任意正整数n，皆满足，令，得，令，得，，又因为数列是等差数列，则公差，数列的通项公式可求．

（2）根据题意，，所以当时，，两式相减得：．即数列是等比数列，假设数列能成等比数列，推出，矛盾，故假设错误，即数列不能成等比数列，

（3），故的前n项和可以用错位相减法求，得到的前n项和后再求其极限即可．

解：（1）由，令得，，所以，，所以，．

等差数列的公差．

所以数列的通项公式

（2）因为对任意正整数n，皆满足，

所以当时，，两式相减得：．

即，所以数列是等比数列，公比为，．

假设数列能成等比数列，则对任意正整数k，，即，

因为，所以，即．显然不成立．

因此数列不可能为成等比数列．

（用特殊的项加以说理亦可：例如，假设数列能成等比数列，则数列前3项也成等比，即，，因为，所以不成立）

（3），

，

，

上述两式相减得：，

所以．

，

．