Question

【题目】已知函数， ．

（1）设．

①若函数在处的切线过点，求的值；

②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；

（2）设函数，且（），求证：当时， ．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）见解析．

【解析】试题分析：（1）由，分、讨论；（2）由已知等价于，构造函数，则，令，导函数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即，得证.

试题解析：（1）当，可得，

∵，∴，

①当时， ，函数在上单调递增，而，

所以只需，解得，从而．

②当时，由，解得，

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增．

所以函数在上有最小值，令，解得，所以．综上所述， ．

（2）由题意， ，

而等价于，

令，

则，且， ，

令，则，

∵，∴，

所以导函数在上单调递增，于是，

从而函数在上单调递增，即，

∴，

即．