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    【题目】（卷号）2209028400021504

    （题号）2209073114537984

    （题文）

    已知函数.

    （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

    （Ⅱ）当时，求的单调区间；

    （Ⅲ）对于曲线上的不同两点、，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称直线存在“伴随切线”. 特别地，当时，又称直线存在“中值伴随切线”.试问：在函数的图象上是否存在两点、，使得直线存在“中值伴随切线”？若存在，求出、的坐标；若不存在，请说明理由.

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不存在

    【解析】

    （Ⅰ）求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（Ⅱ）先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论，最后根据导函数符号确定单调性，（Ⅲ）根据定义建立方程，转化为对应函数零点问题，利用导数确定函数单调性，根据单调性确定零点满足条件，解得结果.

    （Ⅰ）当时，

    （Ⅱ）

    所以当时，的单调增区间为，单调减区间为，

    当时，的单调增区间为和，单调减区间为，

    （Ⅲ）由题意得，

    所以

    因为，

    所以化简得

    令，

    则

    因此，即，也即不成立，

    所以不存在两点、，使得直线存在 “中值伴随切线”.

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    （2）设函数，且（），求证：当时， ．

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