Question

【题目】如图，三棱柱中，平面，，，，以，为邻边作平行四边形，连接和.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）平面；（2）；（3）线段上不存在点，使平面与平面垂直.

【解析】

试题（1）要证明线面平行，需要在平面中找出一条直线平行于.连结，三棱柱中且，由平行四边形得且,

且,四边形为平行四边形，, 平，平面, 平面.（2）建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用即，令，则， ，，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，，则，设平面的法向量为，利用垂直关系， 即，令，则，，所以，因为平面的法向量为，假设平面与平面垂直，则，解得，

线段上不存在点，使平面与平面垂直.

试题解析：（1）连结，三棱柱中且，

由平行四边形得且

且1分

四边形为平行四边形，2分

平，平面3分

平面4分

（2）由，四边形为平行四边形得，底面

如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，

，， 1分

，，

设平面的法向量为，则

即，令，则，

3分

直线与平面所成角的正弦值为. 5分

（3）设，，则1分

设平面的法向量为，则

， 即

令，则，，所以3分

由（2）知：平面的法向量为

假设平面与平面垂直，则，解得，

线段上不存在点，使平面与平面垂直.

5分