Question

己知,其中常数．

（1）当时,求函数的极值；

（2）若函数有两个零点,求证：；

（3）求证：．

Answer 1

解：函数的定义域为,

（1）当时,,, …………1分

而在上单调递增,又,

当时,,则在上单调递减；

当时,,则在上单调递增, …………2分

所以有极小值,没有极大值．  …………3分             

（2）先证明：当恒成立时,有 成立．

若,则显然成立；…………4分   

若,由得,

令,则,…………5分   

令,由得

在上单调递增,

又因为,所以在上为负,在上为正,

因此在上递减,在上递增,所以,

从而．…………6分 

因而函数若有两个零点,则,

所以,

由得,则

,

所以在上单调递增,

所以,

所以在上单调递增,

所以,

则,所以,…………8分 

由得,

则,所以,

综上得． …………9分

（3）由（2）知当时,恒成立,所以,

即,设,则,

当时, ,所以在上单调递增；

当时,,所以在上单调递增, …………10分

所以的最大值为,即,因而,…………11分

所以,即．  …………12分

考点：1．用导数研究函数的最值和极值；2．零点存在性定理；3．构造函数证明不等式.