Question

1．数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，它的前n项和记为A_n，数列{b_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，它的前n项和记为B_n．若a₁=b₁≠0，且存在不小于3的正整数k，m，使a_k=b_m．
（1）若a₁=1，d=2，q=3，m=4，求A_k．
（2）若a₁=1，d=2，试比较A_2k与B_2m的大小，并说明理由；
（3）若q=2，是否存在整数m，k，使A_k=86B_m，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列和等比数列的通项公式，可得a_n=2n-1，b_n=3^n-1，由a_k=b₄，求得k=14，由等差数列求和公式可得所求和；
（2）求得a_n=2n-1，A_n=n²，A_2k=4k²，运用等比数列的求和公式可得B_2m=$\frac{1-{q}^{2m}}{1-q}$=$\frac{1}{q-1}$[（2k-1）²q²-1]，运用作差法，构造二次函数，运用单调性，即可得到大小关系；
（3）由a_k=b_m=a₁•2^m-1，运用等差数列和等比数列的求和公式，A_k=86B_m得：$\frac{{a}_{1}+{a}_{k}}{2}$•k=86•$\frac{{a}_{1}-q{a}_{m}}{1-q}$，可得2^m=$\frac{4×86+2k}{4×86-k}$=$\frac{12×86}{4×86-k}$-2，通过分析，可得存在m=8且k=340．

解答 解：（1）由a₁=1，d=2，q=3，可得a_n=2n-1，b_n=3^n-1，
a_k=b₄=3³=27，即2k-1=27，解得k=14，A₁₄=14+$\frac{14×13}{2}$×2=196；        
（2）依题意，a₁=1，d=2，可得a_n=2n-1，A_n=n²，
A_2k=4k²，且q^m-1=2k-1，显然q＞1．
又B_2m=$\frac{1-{q}^{2m}}{1-q}$=$\frac{1}{q-1}$[（2k-1）²q²-1]，
所以B_2m-A_2k=$\frac{1}{q-1}$[（2k-1）²q²-1]-4k²=$\frac{1}{q-1}$[（2k-1）²q²-4qk²+（4k²-1）]，
设f（x）=（2k-1）²x²-4xk²+（4k²-1），f（1）=（2k-1）²x²-1，
它是关于x的二次函数，它的图象的开口向上，
它的对称轴方程x=$\frac{4{k}^{2}}{2（2k-1）^{2}}$＜1，故f（x）是（1，+∞）上的增函数，
所以当x＞1时f（x）＞f（1）＞0，即B_2m-A_2k＞0，所以A_2k＜B_2m．            
（3）依题意：a_k=b_m=a₁•2^m-1，
由A_k=86B_m得：$\frac{{a}_{1}+{a}_{k}}{2}$•k=86•$\frac{{a}_{1}-q{a}_{m}}{1-q}$，
即$\frac{{a}_{1}+{a}_{1}•{2}^{m-1}}{2}$•k=86•$\frac{{a}_{1}-{2}^{m}{a}_{1}}{1-2}$，
可得2^m=$\frac{4×86+2k}{4×86-k}$=$\frac{12×86}{4×86-k}$-2，
所以344-k=$\frac{516}{{2}^{m-1}+1}$，
因为2⁹=512，故m-1≤9，且516=4×129=4×3×43，且2^m-1+1为奇数，
则其中2^m-1+1=129时，$\frac{516}{{2}^{m-1}+1}$是整数，
故m-1=7，可得存在m=8且k=340．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查两式大小的比较，注意运用作差法，构造函数法，考查存在性问题的解法，属于中档题．