Question

9．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-a|（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）当x≤-$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）+t²+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，根据函数恒成立求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）≤x化为|2x+1|-|x-1|≤x，…（1分）
当$x≤-\frac{1}{2}$，不等式化为2x+2≥0，解得$-1≤x≤-\frac{1}{2}$；…（2分）
当$-\frac{1}{2}＜x＜1$，不等式化为2x≤0，解得$-\frac{1}{2}＜x≤0$；  …（3分）
当x≥1，不等式化为2≤0，无解；…（4分）
所以f（x）≤x解集为{x|-1≤x≤0}． …（5分）
（2）∵当$x≤-\frac{1}{2}$时f（x）=-2x-1-（a-x）=-x-a-1，
∴$f{（x）_{min}}=f（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{2}-a$． …（6分）
∵t²+2t+3=（t+1）²+2≥2，…（7分）
要使当$x≤-\frac{1}{2}$时f（x）+t²+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，
则当$x≤-\frac{1}{2}$时f（x）+2≥0恒成立，…（9分）
∴$-\frac{1}{2}-a+2≥0$，又由已知a＞0
∴$0＜a≤\frac{3}{2}$． …（10分）

点评 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．