Question

14．已知椭圆C：2x²+y²=16．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线x=4上，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，求直线AB截圆x²+y²=17所得弦长为l．

Answer 1

分析 （1）化椭圆方程为标准式，求出a，b的值，利用隐含条件求得c，则椭圆离心率可求；
（2）依题意设（x₀，y₀），B（4，t），由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，把B的坐标用A的坐标表示，写出过A、B的点斜式方程，由点到直线的距离公式求出坐标原点O到AB的距离，再由垂径定理求得直线AB截圆x²+y²=17所得弦长．

解答 解：（1）由椭圆C：2x²+y²=16，得$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
∴$a=4，b=2\sqrt{2}$，则$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$．
故椭圆C的离心率为e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）设A（x₀，y₀），B（4，t），
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{16}=1$，①
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，得$t=\frac{4{x}_{0}}{-{y}_{0}}$，②
根据点斜式得到直线AB的方程为：y-t=$\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-4}（x-4）$，化简得
（y₀-t）x-（x₀-4）y-4y₀+tx₀=0．
原点O到AB的距离d=$\frac{|-4{y}_{0}+t{x}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-t）^{2}+（{x}_{0}-4）^{2}}}$．
将①②代入可得：d=$\frac{|-4{y}_{0}+t{x}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-t）^{2}+（{x}_{0}-4）^{2}}}$=$\frac{|4{y}_{0}-\frac{4{x}_{0}}{-{y}_{0}}|}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}-2•\frac{4{x}_{0}}{-{y}_{0}}•{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+16}}$
=$\frac{|4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{{{y}_{0}}^{4}+16{{x}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|2{{y}_{0}}^{2}+32|}{\sqrt{\frac{1}{2}（{{y}_{0}}^{2}+16）^{2}}}=2\sqrt{2}•\frac{{{y}_{0}}^{2}+16}{{{y}_{0}}^{2}+16}=2\sqrt{2}$．
在圆x²+y²=17中，利用勾股定理可得$\frac{l}{2}=\sqrt{17-（2\sqrt{2}）^{2}}=3$．
∴直线AB截圆x²+y²=17所得弦长为6．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．