Question

3．已知F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），点M是圆x²+y²=4上的动点，动点G满足$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$\overrightarrow{MG}$，过点M作直线l⊥F₂G并交直线F₁G于点N．
（1）求点N的轨迹方程E；
（2）设P是（1）中轨迹E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接NF₂，则|NF₂|=|NG|，利用椭圆的定义，即可求椭圆E的方程；
（2）PA⊥PB，设P（x₀，y₀），将直线AD的方程y=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x+x₀）-y₀代入椭圆的方程，并整理，求出B的坐标，证明k_PA•k_PB=-1，即可得到结论．

解答 解：（1）连接NF₂，则|NF₂|=|NG|，
∴|NF₁|+|NF₂|=|F₁G|．
连接OM，则|F₁G|=2|OM|=4，
∴|NF₁|+|NF₂|=4＞|F₁F₂|，
∴点N的轨迹是以F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）为焦点的椭圆，且2a=4，2c=2$\sqrt{3}$，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴b=1，
∴点N的轨迹方程E：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）PA⊥PB．
证明：设P（x₀，y₀），则A（-x₀，-y₀），D（x₀，-$\frac{1}{2}$y₀）且x₀²+4y₀²=4
将直线AD的方程y=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x+x₀）-y₀代入椭圆的方程，
并整理得（4x₀²+y₀²）x-6x₀y₀²+9x₀²y₀²-16x₀²=0
由题意，可知此方程必有一根-x₀，
x_B=$\frac{6{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{4{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+x₀，y_B=$\frac{{{y}_{0}}^{3}-2{{x}_{0}}^{2}{y}_{0}}{4{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，
所以k_PB=$\frac{\frac{{{y}_{0}}^{3}-2{{x}_{0}}^{2}{y}_{0}}{4{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{6{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{4{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{-6{{x}_{0}}^{2}{y}_{0}}{6{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}$=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$
故有k_PA•k_PB=-1，即PA⊥PB．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．