Question

15．如表是一个由n²个正数组成的数表，用a_ij表示第i行第j个数（i，j∈N），已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a₁₁=1，a₃₁+a₆₁=9，a₃₅=48．
（1）求a_n1和a_4n；
（2）设c_n=$\frac{{2{a_{n1}}}}{{{a_{4n}}}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设第1列依次组成的等差公差为d，设第1行依次组成的等比数列的公比为q，根据题意可以求出d和q，再根据通项公式的定义即可求出；
（2）根据错位相减法即可求出前n项和．

解答 解：（1）设第1列依次组成的等差公差为d，设第1行依次组成的等比数列的公比为q，根据题意a₃₁+a₆₁=（1+2d）+（1+5d）=9，
∴d=1，
∴a_n1=a₁₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，
∵a₃₁=a₁₁+2d=3，
∴a₃₅=a₃₁，q⁴=3q⁴=48，
∵q＞0，
∴q=2，
∵a₄₁=4，
∴a_4n=a₄₁q^n-1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
（2）C_n=$\frac{{2{a_{n1}}}}{{{a_{4n}}}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-2）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
作差$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$

点评 本题考查了数列通项公式的求法和错位相减法求前n项和，属于中档题．