Question

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c-2acosB=b．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，且c²+abcosC+a²=4，求a．

Answer 1

分析 （1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；
（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c²+abcosC+a²=4，求出b²+c²=8-3a²，然后通过余弦定理求a．

解答 解：（1）在△ABC中，∵2c-2acosB=b，
∴由正弦定理可得：2sinC-2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）-2sinAcosB=sinB，
∴2sinAcosB+2cosAsinB-2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，
∵B为三角形内角，sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，且△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴解得：bc=1，
∵c²+abcosC+a²=4，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴c²+ab×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+a²=4，整理可得：b²+c²=8-3a²，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=8-3a²-1，整理可得：a=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．