Question

2．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）-2，当x∈（0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6，x∈（0，1]}\\{-{2}^{x-1}-5，x∈（1，2]}\end{array}\right.$，若x∈（-6，-4]时，关于x的方程af（x）-a²+2=0（a＞0）有解，则实数a的取值范围是0＜a≤1．

Answer 1

分析 求出函数在x∈（-6，-4]的解析式，作出函数对应的图象，利用函数的取值范围进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）-2，
∴若x∈（-6，-4]时，则x+2∈（-4，-2]，x+4∈（-2，0]，若x+6∈（0，2]，
即若x∈（-6，-5]时，则x+2∈（-4，-3]，x+4∈（-2，-1]，若x+6∈（0，1]，
则f（x）=2+f（x+2）=4+f（x+4）=6+f（x+6）=6+（x+6）²-（x+6）-6=x²+11x+30，
若x∈（-5，-4]时，则x+2∈（-3，-2]，x+4∈（-1，0]，若x+6∈（1，2]，
则f（x）=2+f（x+2）=4+f（x+4）=6+f（x+6）=6-2^x+6-1-5=1-2^x+5，
由af（x）-a²+2=0（a＞0）得af（x）=a²-2，（a＞0）
即f（x）=a-$\frac{2}{a}$，（a＞0）
作出函数f（x）在x∈（-6，-4]的图象如图
在函数的值域为-1≤f（x）≤0，
由-1≤a-$\frac{2}{a}$≤0，得$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{2}{a}≥-1}\\{a-\frac{2}{a}≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a-2≥0}\\{{a}^{2}-2≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤1}\\{-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
得$-\sqrt{2}$≤a≤1
∵a＞0，
∴0＜a≤1
故答案为：0＜a≤1

点评 本题主要考查抽象函数的应用，求出函数的解析式，作出函数的对应的图象，利用数形结合是解决本题的关键．