Question

19．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过点Q（$\sqrt{2}$，1），右焦点F（$\sqrt{2}$，0），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1）分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MD}$，求k值；
（Ⅲ）自椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆O：x²+y²=2的两条切线切点分别为P₁，P₂，若直线P₁P₂在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：$\frac{1}{m^2}+\frac{2}{n^2}$=1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将Q的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值；
（Ⅲ）由切线的性质，结合四点共圆判断可得P，P₁，O，P₂四点共圆，可得其圆心O'（$\frac{{x}_{P}}{2}$，$\frac{{y}_{P}}{2}$），求得圆方程，由两圆方程相减可得相交弦方程，由题意可得P₁P₂的方程为$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=1，求得P的坐标，代入椭圆方程即可得证．

解答 解：（Ⅰ）椭圆过点Q（$\sqrt{2}$，1），
可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，由题意可得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）直线l：y=k（x-1）与x轴交点C（1，0），y轴交点D（0，-k），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消y得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{CN}$=（x₂-1，y₂），$\overrightarrow{MD}$=（-x₁，-k-y₁），
由$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MD}$，得：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅲ）证明：因为P₁，P₂为切点，所以OP₁⊥PP₁，OP₂⊥PP₂，
所以P，P₁，O，P₂四点共圆，
其圆心O'（$\frac{{x}_{P}}{2}$，$\frac{{y}_{P}}{2}$），方程为（x-$\frac{{x}_{P}}{2}$）²+（y-$\frac{{y}_{P}}{2}$）²=$\frac{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}{4}$，
整理得x²+y²-xx_P-yy_P=0，
P₁，P₂是圆O与圆O'的交点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-x{x}_{P}-y{y}_{P}=0}\end{array}\right.$得xx_P+yy_P=2，
直线P₁P₂在x轴，y轴上的截距分别为m，n，
可得直线P₁P₂的方程为$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=1，
得x_P=$\frac{2}{m}$，y_P=$\frac{2}{n}$，
因为P（x_P，y_P）在椭圆x²+2y²=4上，
则（$\frac{2}{m}$）²+2（$\frac{2}{n}$）²=4，
整理得$\frac{1}{m^2}+\frac{2}{n^2}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量相等的条件，同时考查圆方程的求法，以及两圆相交弦的问题，考查运算能力，属于中档题．